حل کار در کلاس صفحه 46 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی: برای شروع یک اثبات هندسی، ابتدا باید به وضوح مشخص کنیم که چه اطلاعاتی داریم (فرض) و چه چیزی را می‌خواهیم ثابت کنیم (حکم). * **مفروضات (فرض):** فرض مسئله، تعریف خودِ شکلی است که با آن کار می‌کنیم. در اینجا، شکل یک **متوازی‌الاضلاع** است. تعریف متوازی‌الاضلاع این است که یک چهارضلعی است که در آن اضلاع روبه‌رو با هم موازی هستند. به زبان ریاضی برای چهارضلعی $ABCD$: $ AB \| DC $ و $ AD \| BC $ * **حکم (Conclusion):** حکم مسئله، خاصیتی است که قصد داریم درستی آن را اثبات کنیم. در اینجا، می‌خواهیم ثابت کنیم که اضلاع مقابل با هم برابرند. به زبان ریاضی: $ AB = DC $ و $ AD = BC $

پاسخ تشریحی: برای اثبات اینکه اضلاع مقابل متوازی‌الاضلاع با هم برابرند، یک قطر (مانند $BD$) رسم می‌کنیم و نشان می‌دهیم دو مثلث ایجاد شده هم‌نهشت هستند. **تکمیل اثبات:** $ AB \| CD $, مورب **BD** $ \} \Rightarrow \hat{B}_۱ = \hat{D}_۱ $ (طبق قضیه‌ی خطوط موازی و مورب، زوایای متبادل داخلی برابرند) $ BD = $ **BD** (ضلع مشترک) **$ AD \| BC $** و مورب BD $ \} \Rightarrow $ **$ \hat{D}_۲ = \hat{B}_۲ $** (زوایای متبادل داخلی) $ \} \Rightarrow \triangle \text{ABD} \cong \triangle \text{CDB} $ (به حالت دو زاویه و ضلع بین یا **زض‌ز**) --- **تکمیل تساوی‌ها:** حالا که هم‌نهشتی دو مثلث ثابت شد، می‌توانیم نتیجه بگیریم که سایر اجزای متناظر آنها نیز با هم برابرند: * ضلع $AD$ در مثلث $ABD$ مقابل زاویه‌ی $ \hat{B}_۱ $ است. ضلع متناظر آن در مثلث $CDB$ ضلع $BC$ است که مقابل زاویه‌ی $ \hat{D}_۱ $ قرار دارد. بنابراین داریم: $AD = $ **BC** * ضلع $AB$ در مثلث $ABD$ مقابل زاویه‌ی $ \hat{D}_۲ $ است. ضلع متناظر آن در مثلث $CDB$ ضلع $DC$ است که مقابل زاویه‌ی $ \hat{B}_۲ $ قرار دارد. بنابراین داریم: $AB = $ **DC**

پاسخ تشریحی: در ابتدای اثبات، ما نمی‌توانیم از حالت‌های هم‌نهشتی **«دو ضلع و زاویه‌ی بین» (ض‌زض)** یا **«سه ضلع» (ض‌ض‌ض)** استفاده کنیم، زیرا این کار منجر به یک **استدلال دوری** (Circular Reasoning) می‌شود. * **دلیل:** **فرض** ما در این مسئله فقط این است که اضلاع روبه‌رو **موازی** هستند. **حکم** ما این است که اضلاع روبه‌رو **مساوی** هستند. * برای استفاده از حالت **(ض‌ض‌ض)**، باید از قبل بدانیم که $AB=DC$ و $AD=BC$ است. اما این همان حکمی است که قصد اثبات آن را داریم. ما نمی‌توانیم از چیزی که می‌خواهیم ثابت کنیم، به عنوان بخشی از اثبات استفاده کنیم. * برای استفاده از حالت **(ض‌زض)**، نیاز به برابری دو ضلع داریم (مثلاً $AB=DC$). باز هم این همان حکم مسئله است. بنابراین، ما باید اثبات را تنها با استفاده از اطلاعات اولیه (موازی بودن اضلاع) شروع کنیم. این اطلاعات به ما برابری **زوایا** (متبادل داخلی) را می‌دهد که همراه با ضلع مشترک، به حالت **(زض‌ز)** منجر می‌شود.

پاسخ تشریحی: از هم‌نهشتی مثلث‌های $ABD$ و $CDB$ ($ \triangle ABD \cong \triangle CDB $)، علاوه بر برابری اضلاع متناظر، **برابری زوایای متناظر** نیز نتیجه می‌شود. در این دو مثلث، زاویه‌ی $ \hat{A} $ از مثلث $ABD$ متناظر با زاویه‌ی $ \hat{C} $ از مثلث $CDB$ است. بنابراین، نتیجه‌ی دیگر این است که: $ \hat{A} = \hat{C} $ این نتیجه نشان می‌دهد که زوایای مقابل در متوازی‌الاضلاع با هم برابرند. جای خالی به صورت زیر کامل می‌شود: در هر متوازی‌الاضلاع **زاویه‌های** روبه‌رو، مساوی‌اند.

پاسخ تشریحی: **بله**، می‌توانستیم دقیقاً همین نتایج (برابری اضلاع مقابل و زوایای مقابل) را با رسم قطر $AC$ نیز به دست آوریم. **استدلال:** اگر قطر $AC$ را رسم کنیم، متوازی‌الاضلاع به دو مثلث $ABC$ و $CDA$ تقسیم می‌شود. حال می‌توانیم هم‌نهشتی این دو مثلث را ثابت کنیم: ۱. **$ AD \| BC $ و مورب $AC$**: نتیجه می‌دهد که $ \angle DAC = \angle BCA $ (زوایای متبادل داخلی). ۲. **$ AB \| DC $ و مورب $AC$**: نتیجه می‌دهد که $ \angle BAC = \angle DCA $ (زوایای متبادل داخلی). ۳. **$ AC = AC $**: ضلع مشترک است. بنابراین، دو مثلث $ABC$ و $CDA$ به حالت **«دو زاویه و ضلع بین» (زض‌ز)** هم‌نهشت هستند ($ \triangle ABC \cong \triangle CDA $). از این هم‌نهشتی نتایج زیر حاصل می‌شود: * **برابری اضلاع مقابل:** $ AB = CD $ و $ BC = DA $ * **برابری زوایای مقابل:** $ \hat{B} = \hat{D} $

پاسخ تشریحی: برای آماده شدن جهت اثبات، ابتدا فرض مسئله را با استفاده از ویژگی‌های لوزی به زبان ریاضی می‌نویسیم. * **فرض (Hypothesis):** * **ویژگی اصلی لوزی:** تمام چهار ضلع آن با هم برابر هستند. $ AD = AB = $ **BC = CD** * **ویژگی متوازی‌الاضلاع بودن لوزی:** زوایای روبه‌رو با هم برابرند. $ \hat{A} = $ **$ \hat{C} $** , $ \hat{B} = $ **$ \hat{D} $** * **تعریف نقطه‌ی وسط (M و N):** $ BN = $ **$ \frac{۱}{۲}BC $** $ DM = $ **$ \frac{۱}{۲}CD $** * **حکم (Conclusion):** $ \triangle ADM \cong \triangle ABN $

پاسخ تشریحی: برای اثبات هم‌نهشتی مثلث‌های $ADM$ و $ABN$ از حالت **«دو ضلع و زاویه‌ی بین» (ض‌زض)** استفاده می‌کنیم. | مراحل اثبات | دلیل | | :--- | :--- | | ۱) $ AD = AB $ | **(ضلع)** زیرا $ABCD$ لوزی است و اضلاع لوزی برابرند. | | ۲) $ \hat{D} = \hat{B} $ | **(زاویه)** زیرا لوزی نوعی متوازی‌الاضلاع است و زوایای مقابل آن برابرند. | | ۳) $ DM = BN $ | **(ضلع)** چون $CD=BC$ (اضلاع لوزی) و $M$ و $N$ وسط این اضلاع هستند، پس نصف آنها نیز با هم برابر است ($ DM = \frac{۱}{۲}CD $ و $ BN = \frac{۱}{۲}BC $). | | ۴) $ \triangle ADM \cong \triangle ABN $ | به حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین (ض‌زض)**. |

پاسخ تشریحی: از هم‌نهشتی $ \triangle ADM \cong \triangle ABN $ که در قسمت قبل ثابت شد، نتیجه می‌شود که تمام اجزای متناظر این دو مثلث با یکدیگر برابر هستند. **اجزای متناظر برابر:** * **اضلاع متناظر:** ضلع سوم از هر مثلث با دیگری برابر است: $ AM = AN $ * **زوایای متناظر:** زوایای مقابل به اضلاع برابر، با هم برابرند: ۱. زاویه‌ی مقابل به ضلع $DM$ در مثلث $ADM$ با زاویه‌ی مقابل به ضلع $BN$ در مثلث $ABN$ برابر است: $ \angle DAM = \angle BAN $ ۲. زاویه‌ی مقابل به ضلع $AD$ در مثلث $ADM$ با زاویه‌ی مقابل به ضلع $AB$ در مثلث $ABN$ برابر است: $ \angle AMD = \angle ANB $